Criterio di convergenza di Cauchy: dimostrazione

tramite: O2O
Difficoltà: difficile
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Introduzione

Quando si parla di "criterio di convergenza di Cauchy" si intende essenzialmente quel sistema matematico che va applicato alla convergenza di una serie di numeri positivi con lo scopo fondamentale di costruire una gerarchia di prove specifiche da relazionare con il criterio stesso. Tale catena di prove prende il via con criteri più semplici, con un campo di applicazione decisamente più piccolo per poi estendersi man mano a test sempre più sofisticati. Lo sviluppo dei criteri di somma e di convergenza integrale comportano una rappresentazione della somma o dell'integrale come un punto all'infinito. Possiamo asserire che alcuni test di convergenza sono dichiarati, mentre altri sono riformati. Ci sono inoltre diversi nuovi test di convergenza che vengono definiti da una somma strettamente monotona o integrale, detta proprio somma di convergenza, in cui uno dei punti finali è soppresso dopo l'integrazione, causando una somma o un integrale in un determinato punto. Lo scopo di questa breve e sintetica guida, sarà proprio quello di illustrare i punti fondamentali di dimostrazione del criterio di convergenza di Cauchy.

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La sequenza di Cauchy

È chiamata sequenza di Cauchy quella serie di numeri reali x1, x2, x3,... Secondo cui per ogni numero positivo reale ε esiste un intero positivo N tale che per tutti i numeri naturali m, n> N. Pertanto, la disequazione apparirà in questo modo: valore assoluto di (xm - xn)< ∈. Allo stesso modo è possibile definire numeri razionali o complessi di Cauchy quelli che vengono formulati secondo la condizione xm - xn, infinitesimali per ogni coppia di infinito m, n.

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Le successioni di Cauchy

Per definire successioni di Cauchy in qualsiasi spazio metrico X, il valore assoluto di (xm - xn)
viene sostituito dalla distanza d (xm, xn) (con d: X x X → R) dalle specifiche proprietà esistenti tra xm e xn.
Dato formalmente uno spazio metrico (X, d), una sequenza x1, x2, x3,... È detta sequenza di Cauchy se per ogni numero reale positivo ∈ > 0 esiste un intero positivo N secondo cui per tutti gli interi positivi m, n> N, la distanza d (xm, xn) < ∈.

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Un esempio di sequenza di Cauchy

Volendo semplificare, i termini della successione diventeranno sempre più prossimi e vicini, facendoci in questo modo presupporre che la sequenza avrà un limite proprio in X. Tuttavia tale limite non sempre è presente all'interno di X. I numeri reali, infatti, sono completi solo se considerati come valori assoluti e per tale ragione una delle costruzioni standard dei numeri reali costituisce proprio i numeri razionali di Cauchy. Un altro esempio tipico per tale dimostrazione è fornito da uno spazio metrico X con metrica discreta, ossia in cui i due punti distinti sono a distanza 1 l'uno dall'altro. Secondo quanto appena enunciato, infatti, ciascuno degli elementi di Cauchy di X deve necessariamente essere costante oltre un certo punto fisso e convergere verso il termine eventualmente ripetuto. Speriamo di essere riusciti a chiarire le idee riguardo il criterio di convergenza di Cauchy, la cui dimostrazione matematica si rivelerà senz'altro utile per uno studio più approfondito delle sequenze dei numeri razionali.

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